Одночлен
Одночле́н (устаревшее: моно́м) — алгебраическое выражение, состоящее из произведения числового множителя (коэффициента) на одну или нескольких переменных, взятых каждая в натуральной степени. Степенью одночлена называется сумма степеней всех входящих в него переменных. Одночленом также считается отдельное число (без буквенных множителей), степень такого одночлена равняется нулю[1].
Примеры:
- [math]\displaystyle{ -7 }[/math]
- [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ c^2xy }[/math]
- [math]\displaystyle{ -a }[/math]
- [math]\displaystyle{ 5ax^3 }[/math]
Если числовой коэффициент одночлена не задан (например, в одночлене [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]), подразумевается коэффициент 1 или [math]\displaystyle{ -1, }[/math] в зависимости от знака перед одночленом[2].
Не являются одночленами выражения: [math]\displaystyle{ a+b;\ \frac{a-b}{c}. }[/math]
Свойства
Произведение одночленов также является одночленом. При этом перемножаются коэффициенты и складываются показатели степеней для одинаково обозначенных переменных[1].
Пример: [math]\displaystyle{ 3ab\cdot (2{,}5a^3c) = 7{,}5a^4bc. }[/math]
Возведение одночлена в натуральную степень также даёт одночлен.
Одночлены называются подобными, если они отличаются только коэффициентом (или вовсе не отличаются), а переменные и их степени полностью совпадают. При сложении или вычитании подобных одночленов получается одночлен, подобный исходным; его коэффициенты получаются соответственно сложением или вычитанием коэффициентов исходных одночленов[1].
Одночлен является частным случаем многочлена, не содержащим операции сложения. Сложение одночленов, не являющихся подобными, даёт многочлен; более того, многочлен можно именно так определить. Степень многочлена — это максимальная из степеней входящих в него одночленов.
Вариации и обобщения
В некоторых источниках рассматриваются одночлены, содержащие отрицательные степени переменных; они полезны, например, в теории рядов Лорана. Аналогично в теории рядов Пюизё естественно рассматривать одночлены с рациональными степенями.
Коэффициенты одночлена могут быть не только числами, но и элементами произвольного коммутативного кольца. Множество одночленов над заданным кольцом образует коммутативную полугруппу с единицей, операции над одночленами выполняются аналогично числовым одночленам[3].
См. также
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 1,2 Гусев, Мордкович, 2013, с. 86—88.
- ↑ Одночлен — статья из Большой советской энциклопедии.
- ↑ Одночлен. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 1184. — 1184 с.
Литература
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: учебно-справочное пособие. — М.: Астрель, 2013. — 671 с. — (Справочник школьника). — ISBN 978-5-271-07165-2.
Ссылки
- Monomial Архивная копия от 19 октября 2021 на Wayback Machine. Encyclopedia of Mathematics.